Messi, Cristiano Ronaldo, Mbappé, Modrić, Luis Suárez, Benzema, Neymar o Lewandowski. La lista de jugadores emblemáticos que aparecen en el álbum de cromos del presente Mundial de fútbol es una de las más deslumbrantes de la historia. La presencia de tantas estrellas ha atraído a millones de coleccionistas de todos los rincones del planeta, convirtiéndose incluso en una cuestión de estado. En Argentina, la locura desatada por conseguir el cromo de Messi ha sido tal que ha desembocado en escasez, y el Gobierno ha tenido que mediar entre la empresa fabricante y los vendedores para frenar el desabastecimiento y la especulación.
Mientras que, con buena suerte, conseguir el cromo de Messi podría costar 1 € (el precio de un sobre), la especulación ha hecho acto de presencia: para los más desafortunados, su precio alcanza los 90 € (458.288,29 pesos colombianos al 15 de diciembre de 2022).
El objetivo es conseguir 670 cromos distintos para completar la colección. Teniendo en cuenta que cada sobre contiene 5 cromos, el precio mínimo para completarlo es de 134 € si ocurriera el imposible de que en todos los sobres el coleccionista consiguiera cromos distintos. Sin embargo, sin mercado negro ni intercambios ni especulación de por medio, nuestros cálculos concluyen que, de forma realista, habría que invertir 940 € (4.786.881,89 pesos colombianos al 15 de diciembre de 2022) con una desviación estándar de 170 € para conseguir la colección completa de los cromos del Mundial. El álbum saldrá más o menos por el mismo precio que una sencilla bici eléctrica. Veamos cómo se llega a este resultado.
Un experimento mundialista
Al principio de este tipo de colecciones, casi todos los cromos que encontramos en cada sobre son nuevos. Sin embargo, muy pronto empiezan a aparecer cromos repetidos, los repes. Donde cualquier coleccionista encontraría frustración, los científicos vemos la oportunidad de hacer un experimento. De esta forma, añadí papel y lápiz a mi colección del Mundial de Fútbol, apuntando cuántos cromos nuevos he conseguido por cada sobre comprado. Aunque esta medida es interesante, me faltaba algo más para saber si realmente mi suerte ha sido buena o no. Para ello, decidí crear un modelo matemático de lo que ocurría.
5.000 familias dentro de un ordenador
Los modelos matemáticos son muy útiles para los científicos porque, en la realidad, muchas veces tan solo contamos con una observación de los hechos. Sin embargo, considerando diferentes condiciones aleatorias, los modelos pueden proporcionarnos muchas observaciones, aumentando la información disponible.
Por ejemplo, las curvas que describían el número de infectados positivos por la covid-19 en función del tiempo estaban basadas en una única observación. Sin embargo, esas curvas incluían las consecuencias de muchas causas aleatorias. Para entender mejor la situación y decidir qué medidas tomar, los modelos matemáticos proporcionaban muchas curvas del mismo fenómeno e incluso informaban de la probabilidad de los distintos escenarios de evolución de la pandemia.
El modelo de esta colección es muy simple. Nuestro ordenador simula 5.000 familias comprando los cromos del Mundial. Cada familia se va a encontrar cinco cromos aleatorios en cada paquete y seguirá comprando paquetes hasta acabar la colección.
La única condición es que no puede haber dos cromos iguales en el mismo paquete. Obtenemos 5.000 curvas (una por cada familia) que representan el número de cromos nuevos en función del número de paquetes comprados. Con todas esas curvas podemos obtener la trayectoria de la mediana (curva que en cada punto tiene la mitad de familias con mejor suerte por encima y la otra mitad por debajo) y el área entre los percentiles 5 y 95.
El área entre esos percentiles nos da mucha información, ya que necesitamos muy buena suerte para estar por encima de ella (5 % mejor) o muy mala para el caso contrario. Esto significa que la gran mayoría de trayectorias estarán incluidas en esta área. Como podemos observar en la figura, mi colección siempre ha estado dentro del área entre los percentiles 5 y 95. Además, parece que he tenido suerte, porque las desviaciones de la mediana han estado por encima de ella.
Cambiar cromos ‘repes’ puede ahorrar 300 euros
El modelo nos muestra que mi experiencia ha tenido buena suerte. Sin embargo, este modelo puede informarnos de más cosas, como cuántos necesitaríamos para completar la colección.
Haciendo el promedio del número de sobres que cada familia ha tenido que comprar para conseguir los 670 cromos, obtenemos que habría que invertir 940 € con una desviación estándar de 170 €. Este resultado señala la importancia de la suerte para completar la colección, ya que puede modificar el precio final en cientos de euros. Por cierto, modelos similares se utilizan en ecología para crear las curvas de rarefacción, que muestran el número de especies observadas en función del número de muestras. Bajo la mirada de un estadístico, un biólogo buscando especies distintas en un ecosistema no es tan distinto de un coleccionista a la caza de cromos nuevos.
Finalmente, hemos modificado nuestro modelo para incluir el intercambio de repes. Ahora nuestras familias están agrupadas por pares que van intercambiando los cromos. El intercambio es justo, es decir, tu cromo repe a cambio del mío. El resultado es que el precio medio para completar la colección es de 660 € con una desviación estándar de 150 €, un precio mucho menor que en el caso de una familia aislada. En definitiva, vale más tener un amigo que tener buena suerte.
Por: Jorge P. Rodríguez
Investigador posdoctoral en análisis de datos y modelado de sistemas complejos, Instituto Mediterráneo de Estudios Avanzados (Imedea - CSIC - UIB)
Artículo publicado originalmente en The Conversation