Fractales: qué son esos patrones matemáticos infinitos a los que se les llama "la huella digital de Dios"

¿Qué tienen en común las galaxias, las nubes, tu sistema nervioso, las cordilleras y las costas? Todos contienen patrones interminables conocidos como fractales.

Son herramientas importantes en muchos campos, desde la investigación sobre el cambio climático y la trayectoria de meteoritos peligrosos hasta la investigación del cáncer -ayudando a identificar el crecimiento de células mutadas- y la creación de películas de dibujos animados.

Esos son unos pocos ejemplos y hay quienes creen que, debido a su naturaleza altamente compleja y misteriosa, aún no se ha descubierto todo su potencial. Desafortunadamente, no hay una definición de fractales que sea simple y precisa.

Como tantas otras cosas en la ciencia y las matemáticas modernas, las discusiones sobre la "geometría fractal" pueden confundir rápidamente a los que no tenemos mentes matemáticas. 

Y eso es una verdadera lástima, porque hay una profunda belleza y poder en la idea de los fractales. Así que no nos demos por vencidos.

El genio que los nombró

El término lo acuñó un científico colorido y poco convencional llamado Benoit Mandelbrot, un matemático polaco nacionalizado francés y estadounidense.

Mandelbrot se saltó los primeros dos años de escuela y, como judío en la Europa devastada por la guerra, su educación se vio muy interrumpida.

En gran medida fue autodidacta o tutorizado por familiares. Nunca aprendió formalmente el alfabeto, ni siquiera la multiplicación más allá de la tabla del 5. Pero tenía un don para ver los patrones ocultos de la naturaleza.

Podía ver reglas donde el resto de nosotros vemos la anarquía. Podía ver forma y estructura, donde el resto de nosotros solo vemos un desastre sin forma. Y, sobre todo, podía ver que un extraño nuevo tipo de matemática apuntalaba toda la naturaleza.

Celebrando el caos

Mandelbrot se dedicó toda la vida a buscar una base matemática simple para las formas irregulares del mundo real. Le parecía perverso que los matemáticos hubieran pasado siglos contemplando formas idealizadas como líneas rectas o círculos perfectos.

"Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos y la corteza de los árboles no es lisa, ni los rayos viajan en línea recta", escribió Mandelbrot.

El caos y la irregularidad del mundo -a lo que llamaba "aspereza"- es algo para celebrar. Para él, habría sido una pena que las nubes fueran realmente esferas y las montañas, conos.

Sin embargo, no tenía una forma adecuada o sistemática de describir las formas ásperas e imperfectas que dominan el mundo real. Así que se preguntó si había algo único que definiera todas las formas variadas de la naturaleza.

¿Compartían alguna característica matemática común las esponjosas superficies de las nubes, las ramas de los árboles y los ríos, los bordes de las costas? Pues resulta que sí.

Parecido a sí mismo

Piensa en las nubes, montañas, costas, brócolis y helechos... sus formas tienen algo en común, algo intuitivo, accesible y estético.

Si las observas con atención, descubrirás que su complejidad sigue presente a menor escala.

Subyacente a casi todas las formas en el mundo natural hay un principio matemático conocido como autosimilitud, que describe cualquier cosa en la que la misma forma se repite una y otra vez a escalas cada vez más pequeñas.

Un buen ejemplo son las ramas de los árboles. Se bifurcan y se bifurcan nuevamente, repitiendo ese simple proceso una y otra vez a escalas cada vez más pequeñas.

El mismo principio de ramificación se aplica en la estructura de nuestros pulmones y en la forma en que los vasos sanguíneos se distribuyen por nuestros cuerpos.

Y la naturaleza puede repetir todo tipo de formas de esta manera.

Mira este brócoli romanesco. Su estructura general está compuesta por una serie de conos repetidos a escalas cada vez más pequeñas.

Mandelbrot se dio cuenta de que la autosimilitud era la base de un tipo completamente nuevo de geometría... es a eso a lo que le dio el nombre de fractal, y es a eso a lo que a veces se le llama "la huella digital de Dios".

El fin es el principio

¿Qué pasaría si se pudiera representar esa propiedad de la naturaleza en las matemáticas? ¿Qué pasaría si pudieras capturar su esencia para hacer un dibujo? ¿Cómo sería ese dibujo?

La respuesta vendría del mismo Mandelbrot, quien había aceptado un trabajo en IBM a fines de la década de 1950 para obtener acceso a su increíble poder de cómputo y dar rienda suelta a su obsesión con las matemáticas de la naturaleza.

Armado con una supercomputadora de nueva generación, comenzó a investigar una ecuación muy curiosa y extrañamente simple que podía usarse para dibujar una forma muy inusual.

La siguiente ilustración es una de las imágenes matemáticas más notables jamás descubiertas.

Es el conjunto de Mandelbrot...

Cuanto más cerca examines esta imagen, más detalles verás.

Cada forma dentro del conjunto contiene un número infinito de formas más pequeñas, que contiene un número infinito de otras formas aún más pequeñas... y así, sin fin.

Una de las cosas más asombrosas sobre el conjunto de Mandelbrot es que, en teoría, si se deja solo, continuaría creando patrones infinitamente nuevos a partir de la estructura original, lo que demostraría que algo podría ampliarse para siempre.

Sin embargo, toda esta complejidad proviene de una ecuación increíblemente simple.

Y eso nos obliga a repensar la relación entre simplicidad y complejidad.

Hay algo en nuestras mentes que dice que la complejidad no surge de la simplicidad; que debe surgir de algo complicado. Pero lo que nos dicen las matemáticas en toda esta área es que reglas muy simples dan lugar naturalmente a objetos muy complejos.

Esa es la gran revelación. Es una idea asombrosa. Y parece que se aplica a todo nuestro mundo.

Algo para tener en cuenta

Piensa en las bandadas de pájaros. Cada pájaro obedece reglas muy simples. Pero el grupo en su conjunto hace cosas increíblemente complicadas, como evitar obstáculos y navegar por el planeta sin un solo líder o incluso un plan consciente.

Es imposible predecir cómo se comportará. Nunca repite exactamente lo que hace, incluso en circunstancias aparentemente idénticas. Cada vez que lo ejecuta, los patrones son ligeramente diferentes: similares, pero nunca idénticos.

Lo mismo ocurre con los árboles.

Sabemos que producirán un cierto tipo de patrón, pero eso no quiere decir que podamos predecir las formas exactas, pues algunas variaciones naturales, causadas por las diferentes estaciones, el viento o algún accidente ocasional, hace que sean únicos.

Eso quiere decir que las matemáticas fractales no pueden usarse para predecir los grandes eventos en los sistemas caóticos, pero sí pueden decirnos que tales eventos sucederán.

La matemática fractal, junto con el campo relacionado de la teoría del caos, reveló la belleza oculta del mundo, inspiró a científicos en muchas disciplinas, incluyendo cosmología, medicina, ingeniería y genética, y también a artistas y músicos.

Nos mostró que el Universo es fractal e inherentemente impredecible.