Los 7 grandes problemas matemáticos cuya resolución se premia con US 1 millón

US 1 millón por resolver un problema matemático. La cuantía de la recompensa permite imaginar la complejidad de los llamados Problemas del Milenio, una lista con los siete desafíos más importantes sin resolver publicada en el año 2000 por el Instituto Clay de Matemáticas de Cambridge, Estados Unidos.

El premio es suculento... pero la tarea no es fácil. Hasta ahora, solo uno ha sido resuelto de manera oficial. El pasado mes de septiembre, el británico Michael Atiyah aseguró haber solucionado el problema de la "hipótesis de Riemann" al hallar una fórmula con la que predecir el siguiente número primo dentro de una serie de cifras.

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Pero antes de poder recibir el premio, su teoría debe ser publicada por una revista científica de prestigio mundial. Dos años después, si la teoría es aceptada por la comunidad matemática, tendrá que recibir el visto bueno de dos comités independientes de expertos del Instituto Clay.

¿Se atreve a intentar solucionar uno? BBC Mundo cuenta cuáles son los siete Problemas del Milenio.

1. El problema de P frente a NP

"P frente a NP" aspira a demostrar o refutar la creencia de que hay problemas para los que, por su complejidad, es más difícil encontrarles una solución que comprobar si esa solución es correcta. Los problemas P (polinómicos) son los que se pueden resolver en un tiempo razonable. Los problemas NP (no deterministas en tiempo polinómico) son aquellos que, aunque sea difícil encontrarles solución, una vez hallada se puede comprobar en un tiempo razonable que es correcta.

_{¿Puedes resolver uno de los Problemas del Milenio? Foto: Getty Images-BBC.}

Si se puede encontrar fácilmente una solución, esta también se podrá verificar de manera sencilla, por lo que todo problema P es también NP. Lo que se desconoce es si hay algún problema NP que no sea P. Los expertos confían en que así sea, pero de momento nadie ha sido capaz de demostrarlo.

2. La conjetura de Hodge

Algunos matemáticos aseguran que este problema es el más difícil de explicar al público en términos que no resulten demasiado técnicos. La conjetura de Hodge está relacionada con la geometría algebraica, que estudia los lugares geométricos que se pueden definir por polinomios como circunferencias o parábolas. Con el paso del tiempo, sin embargo, algunas propiedades de estos conjuntos comenzaron a ser aplicadas a cosas que no tienen una interpretación geométrica. Una de ellas es lo que se conoce como un "ciclo de Hodge".

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_{La teoría del británico Michael Atiyah, quien asegura haber resuelto la hipótesis de Riemann, tendrá que pasar por un largo proceso de verificación antes de recibir el premio. Foto: Getty Images-BBC.}

Este problema relaciona la topología algebraica de una variedad algebraica compleja no singular con sus subvariedades. En concreto, la conjetura dice que todo ciclo de Hodge es combinación racional de ciclos algebraicos, es decir, de los ciclos asociados a subvariedades analíticas cerradas.

3. La conjetura de Poincaré

Este problema es el único que hasta el momento fue solucionado oficialmente. El logro fue del matemático ruso Grigori Perelman en 2006, quien sorprendió al rechazar el premio tras asegurar que no era ningún héroe ni quería ser expuesto de manera masiva. La conjetura de Poincaré era considerada una de las hipótesis matemáticas más importantes y difíciles de demostrar. En topología, la superficie de una esfera bidimensional se caracteriza por ser la única superficie simplemente conexa, compacta y cerrada (sin límites). La conjetura, que se transformó en teorema después de que la resolución de Perelmán fuera aceptada, establece que esta afirmación es también válida para esferas tridimensionales.

4. La hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann se centra en la distribución de los números primos, aquellos indivisibles por cualquier otro número que no sea 1 ni ellos mismos. El matemático alemán Bernd Riemann sugirió que la distribución de estos números está estrechamente relacionada con el comportamiento de la llamada "función zeta de Riemann".

Esta función tiene dos tipos de ceros: los ceros "triviales", que son todos los números enteros pares y negativos; y los ceros "no triviales", cuya parte real está siempre entre 0 y 1.

La hipótesis dice que todos los ceros no triviales tienen una parte real de 1/2.Esto ha sido verificado para las primeras 10.000.000.000.000 soluciones.

5. Yang-Mills y el salto de masa ("mass gap")

Distintos experimentos descubrieron la existencia de un mass gap (traducido en español como "salto de masa" o "intervalo másico") en la solución a la teoría de Yang-Mills, la cual estableció las bases de la teoría de las partículas elementales de la materia y en cuya versión cuántica describen partículas sin masa (gluones).

El uso exitoso de esta teoría para describir las fuertes interacciones de las partículas elementales depende de ese "salto de masa", una propiedad mecánica cuántica según la cual las partículas cuánticas tienen masas positivas, aunque las ondas clásicas viajan a la velocidad de la luz. Aunque esta propiedad fue confirmada por simulaciones por computadora, aún no se logró entender desde un punto de vista teórico.

El problema consiste en determinar de manera rigurosa la existencia de una teoría de Yang-Mills cuántica que pueda explicar este fenómeno. Es decir, si —como muchos expertos creen— todas las partículas de esta teoría (los gluones) tienen masa o no. 

6. Las ecuaciones de Navier-Stokes

Estas ecuaciones describen el movimiento de fluidos como líquidos y gases que gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes del océano o el flujo alrededor de vehículos o proyectiles.

_{Las ecuaciones de Navier-Stokes pueden ser clave para predecir con mayor exactitud las incómodas corrientes y turbulencias que nos acompañan en algunos vuelos. Foto: Getty Images-BBC.} 

Pese a que desde su formulación en el siglo XIX describen adecuadamente tanto el flujo turbulento (el que se da de manera caótica) como laminar (no turbulento), sigue sin existir una explicación rigurosa de cómo un fluido pasa de tener un flujo regular a uno turbulento.

Los científicos tratan de conseguir una mejorada teoría matemática sobre la dinámica de fluidos que ayude a entender el fenómeno de la turbulencia y desbloquear los muchos secretos ocultos que aún permanecen en las ecuaciones de Navier-Stokes. Matemáticos y físicos creen que esto nos ayudaría a mejorar nuestro conocimiento sobre la formación de olas en el mar o turbulencias en el aire y, lo que es aún más importante, poder predecirlas mejor.

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7. Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, que une geometría algebraica y teoría de números, pide estudiar las soluciones racionales a ecuaciones que definen una curva elíptica.

_{Los matemáticos siempre han estado fascinados por el problema de describir todas las soluciones en números enteros x, y, z en ecuaciones algebraicas. Foto:Getty images-BBC.}

Las curvas algebraicas se clasifican según su género, siendo las más sencillas las de género cero o curvas racionales (que tienen ninguna o infinitas soluciones racionales). El problema, sin embargo, está en demostrar un criterio que distinga qué curvas de género 1 (también llamadas elípticas) tienen un número finito o infinito de soluciones racionales.