Lo que las matemáticas hicieron por Einstein y viceversa

Cuesta creerlo, pero hubo momentos en los que Albert Einstein necesitó ayuda con las matemáticas. Sí, es difícil de imaginarlo, pero hubo algunas ramas avanzadas de las matemáticas que a Einstein le costó entender. Y al hacerlo no se quedó corto en reconocer el talento de sus contemporáneos.

Cuestión de métodos

Al gran matemático italiano Tullio Levi-Civita le escribió: “Admiro la elegancia de su método de cálculo; debe ser estupendo cabalgar esos campos sobre el caballo de las auténticas matemáticas mientras nosotros tenemos que hacer nuestro laborioso trabajo a pie”.

Con el trabajo de Einstein nacieron nuevos conceptos, teorías y ecuaciones matemáticas para explicarlos. Foto: GETTY IMAGES

También admitió que cuando era un joven estudiante llegó a descuidar “hasta cierto punto las matemáticas”.

“Mi intuición en el terreno matemático no era lo bastante fuerte como para discernir con seguridad entre lo básico, lo de importancia fundamental, y toda la demás erudición más o menos dispensable.

"Pero, aparte de eso, no cabe duda de que mi interés por el estudio de la naturaleza era más fuerte; y en mi época de estudiante no comprendía aún que el acceso a los conocimientos fundamentales y más profundos de la física iba ligado a los métodos matemáticos más sutiles. Es algo que sólo fui entreviendo paulatinamente tras años de trabajo científico independiente”.

Al desarrollar sus teorías, Einstein también les presentó muchos desafíos a los matemáticos de su época y de generaciones siguientes. "Ha habido desarrollos fenomenales en matemáticas debido al trabajo de Einstein en física", le dice a BBC Mundo David McMullan, profesor de Física Teórica de la Universidad Plymouth.

"Se equivocaba"

"Cuando uno piensa en las grandes figuras de la ciencia, de la física, de la matemática, incluso los que nos dedicamos profesionalmente a esto, la sensación que nos da es que eran unos personajes infalibles, que eran personas que no se equivocaban nunca, que siempre tenían las ideas correctas y que esas ideas les surgían casi sin ningún esfuerzo", le dice a BBC Mundo Jesús Fernando Barbero, investigador científico del Instituto de Estructura de la Materia del Consejo Superior de Investigaciones Científicas de España.

Las ecuaciones de Einstein desataron un apasionante trabajo para los matemáticos. Foto: IMAGNO/GETTY IMAGES

Hay que indagar bastante -dice- antes de perder esa sensación. Pero advierte que hay una gran excepción. "Sobre Einstein se han escrito tantas cosas que cuando uno empieza a leer sobre lo que él pensaba, cómo buscaba sus teorías, el tipo de razonamiento que usaba, muchas veces eran razonamientos que eran muy inspiradores porque realmente lo llevaban en la dirección correcta, pero que formulados desde una perspectiva moderna no estaban bien", dice Barbero.

"El comportamiento de Einstein es inspirador, el mecanismo mental por el cual avanzaba en el conocimiento no era lineal, buscaba, tanteaba, muchas veces acertaba, otras veces no, hasta que daba con la respuesta y, como era un genio, cada respuesta era un avance brutal en la física", indica.

"Se equivocaba y quedaba registro de esos errores, lo cual en el caso de otras grandes figuras de la ciencia no queda tan claro", agrega.

Einstein publicó su revolucionaria teoría de la relatividad general en 1915. Los años previos habían sido de un profundo e intenso aprendizaje para él. "Varios años antes de que se diera cuenta de que el lenguaje que tenía que utilizar para formular la teoría de la relatividad general era un lenguaje geométrico, fue publicando trabajos en los que iba proponiendo ecuaciones para el campo gravitatorio, que era lo que buscaba, pero se fue cerciorando de que no eran las correctas", indica Barbero.

"De hecho, el que se daba cuenta de que no eran correctas era él mismo porque probablemente en aquella época era el único que entendía lo que estaba intentando hacer", señala el físico.

"No la entiendo"

Pero antes de adentrarnos en la teoría de la relatividad general, vamos a retroceder unos años antes, a 1905, cuando Einstein publicó su teoría de la relatividad especial, la cual tuvo un impacto astronómico en la ciencia.

El matemático Minkowskino también incursionó en la teoría de los números y la física matemática. Derechos de mágen:DOMINIO PÚBLICO

"Es una teoría que cambiaba de forma tan radical ideas básicas sobre el espacio y el tiempo que costó trabajo asimilarlas y, de hecho, fue uno de los primeros momentos que los matemáticos empezaron a ayudar a Einstein", dice el experto español.

Uno de ellos fue el alemán Hermann Minkowski, quien había sido profesor de matemáticas de Einstein en la universidad.

“Fue el primero en darse cuenta de que lo que estaba contando Einstein en su teoría de la relatividad especial se entendía mucho mejor desde el punto de vista geométrico si uno interpretaba aquello como la geometría en un espacio tiempo de cuatro dimensiones, que va más allá del espacio tridimensional en el que nos movemos, y del tiempo que percibimos como algo que pasa de forma lineal", explica Barbero.

De acuerdo con el experto, aunque la idea fundamental es de Einstein, la teoría no se completó hasta que Minkowski le dio una interpretación geométrica. Al parecer, indica el doctor, a Einstein no le gustó esa interpretación, pues la veía como algo muy abstracto e irrelevante para entender su propuesta.

De hecho, Paul Arthur Schilpp, en su libro de Albert Einstein philosopher-scientist(“Albert Einstein filósofo-científico”), cuenta que el gran físico dijo: “Dado que los matemáticos han invadido la teoría de la relatividad, no la entiendo más”.

McMullan recuerda que Minkowski “no había quedado impresionado con Einstein el estudiante”. "Es cierto que Einstein era bueno en matemáticas. Es el lenguaje de la física y él lo hablaba muy claramente. Pero no era matemático", dice el catedrático británico.

Hacia la geometría diferencial

Cuando comenzó a elaborar su teoría de la relatividad general, Einstein se dio cuenta de que ese lenguaje geométrico era exactamente lo que necesitaba.

La geometría creada por Bernhard Riemann "no es muy fácil de entender, ni siquiera para un genio como Einstein", dijo el matemático británico Marcus du Sautoy. Foto:SCIENCE PHOTO LIBRARY

"El aporte de Minkowski fue muy importante para hacerle cambiar a Einstein de punto de vista y ayudarlo a buscar el formalismo matemático que era apropiado para formular su teoría de la relatividad general", señala Barbero.

Einstein advierte que tenía que utilizar la geometría diferencial, que habían desarrollado a partir del siglo XIX grandes matemáticos como Carl Friedrich Gauss (para muchos el matemático más importante de la historia).

"En ese sentido le hizo un favor enorme a las matemáticas porque el hecho de que él tuviera que utilizar esas herramientas sirvió para que los matemáticos (de su época) las desarrollaran aún más", indica el especialista.

El gran consejo de un amigo

Uno de los matemáticos que más influyó en el trabajo de Einstein fue su amigo Marcel Grossmann.

En ocasiones, Einstein le pidió los apuntes prestados a su amigo y compañero de clases, Marcel Grossmann.Derechos de imágen: DOMINIO PÚBLICO

Einstein y el matemático suizo se conocieron cuando estudiaban física y matemáticas en el Politécnico de Zúrich.Tras graduarse en 1900, no perdieron el contacto y cuando Einstein estaba desarrollando su teoría de la relatividad general, un consejo de Grossmann marcaría su destino.

El profesor McMullan cree que "la necesidad de ir más allá de la descripción euclidiana del espacio-tiempo fue primero articulada por Grossman, quien persuadió a Einstein de que ese era el lenguaje correcto para lo que se convertiría en la relatividad general".

Y, además, tenía un matemático en mente para su amigo: Bernhard Riemann. Al final, el estudio de la geometría de ese prodigio alemán del siglo XIX se terminaría convirtiendo en la base matemática de la gran teoría de Einstein.

Para Roger Penrose, uno de los físicos teóricos más destacados de la actualidad, "Einstein tenía una buena intuición matemática pero no era lo que se dice un experto matemático (o un matemático puro)".

"Tuvo problemas con algunas de las ideas, pero sabía lo que quería y cuando vio lo que Riemann había hecho, se dio cuenta de que lo había encontrado", dijo el experto británico en el programa de la BBC A Brief History of Mathematics (“Una breve historia de las matemáticas”).

"Un respeto enorme"

En un artículo sobre Grossmann, los profesores John Joseph O‘Connor y Edmund Frederick Robertson, de la escuela de Matemáticas de la Universidad de St. Andrews (Reino Unido), cuentan que en 1912, Einstein estaba en Suiza y luchaba por "extender su teoría de la relatividad especial para incluir la gravitación".

Einstein consiguió el título de profesor en Física y Matemáticas de la Escuela Politécnica de Zúrich. Foto:GETTY IMAGES

Su amigo, indican los autores, le dijo que también debía dirigir su atención al cálculo tensorial que desarrollaron dos científicos italianos: Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita.

El consejo de Grossmann lo convenció y así se lo hace saber al físico teórico Arnold Sommerfeld en un carta:

"Estoy trabajando exclusivamente en el problema de la gravitación y creo que puedo superar todas las dificultades con la ayuda de un amigo matemático aquí.

"Pero una cosa es cierta: nunca antes en mi vida había trabajado tanto y he adquirido un respeto enorme por las matemáticas, cuyos aspectos más sutiles consideré hasta ahora, en mi ingenuidad, como un mero lujo.

"Comparado con este problema, la teoría original de la relatividad es un juego de niños".

Los dos amigos trabajaron intensamente e hicieron el primer documento de la teoría de la relatividad general en 1913.

La amistad y la colaboración seguiría.

"Spaghetti y Levi-Civita"

La Academia de Ciencias de Turín relata en su página web la muy especial relación que se estableció entre Einstein y Levi-Civita. "Un día, se le preguntó a Albert Einstein (…) qué amaba de Italia y con su proverbial simplicidad respondió: ‘Spaghetti y Levi-Civita‘", dice la organización.

Tullio Levi-Civita y Einstein no sólo intercambiaron cartas sino que se conocieron personalmente. Foto: DOMINIO PÚBLICO

Ambos científicos tuvieron un fructífero intercambio de ideas y de correspondencia. "Levi-Civita compartió con Einstein el cálculo diferencial absoluto, que había desarrollado a principios del siglo XX con su maestro Gregorio Ricci Curbastro". De acuerdo con esa institución, "Einstein envidiaba enormemente las habilidades matemáticas del italiano".

Levi-Civita junto a Ricci fueron pioneros en el cálculo tensorial y, como explica la Enciclopedia Británica, en 1917, “inspirado por la teoría de la relatividad general de Einstein, Levi-Civita hizo su más importante contribución al campo de las matemáticas, la introducción del concepto del desplazamiento paralelo en espacios curvos generales”.

Ese concepto tiene múltiples aplicaciones y "en la relatividad es la base de la representación unificada del electromagnetismo y los campos gravitacionales".

Las ecuaciones de Einstein

Barbero cuenta que Grossmann le explicó a Einstein la geometría diferencial.

Karl Schwarzschild fue uno de los pioneros de la teoría cuántica. Foto: DOMINIO PÚBLICO

"Con esas herramientas, Einstein no sólo pudo formular la teoría de la relatividad general sino escribir sus ecuaciones básicas, conocidas como las Ecuaciones de Einstein, y que están entre las ecuaciones más importantes de la física", dice el experto.

El doctor reflexiona sobre cuán difícil es comprender la geometría diferencial no sólo desde el punto de vista conceptual sino a la hora de hacer cálculos. "A Einstein le costó bastante trabajo entender la geometría diferencial y, de hecho, probablemente es justo decir que hubo cosas que él no llegó a entender nunca", señala.

Una de las consecuencias de la relatividad general es que predice la existencia de agujeros negros, los cuales aparecieron como un ente teórico.

El astrónomo alemán Karl Schwarzschild, quien fue un matemático excepcional, sentó las bases de la teoría de los agujeros negros al encontrar su famosa solución de las ecuaciones de Einstein.

"No habría esperado que alguien pudiera formular una solución exacta al problema de manera tan simple", dijo el premio Nobel cuando Schwarzschild le envió uno de los estudios que había hecho sobre su teoría de la relatividad, según cuentan O‘Connor y Robertson en una breve biografía sobre el astrónomo.

"Un esfuerzo"

Sin embargo, indica Barbero, durante varias décadas los físicos, "entre ellos el propio Einstein", no entendían aspectos de la solución de Schwarzschild.

En varias ocasiones, Einstein expresó su agradecimiento hacia sus colegas. Foto: BETTMANN/GETTY IMAGES

No fue hasta los años 30 cuando otro gran astrónomo y matemático, el belga Georges Lamaitre, que, estudiando la relatividad, advirtió lo que pasaba. Y no era que hubiese fallas en las soluciones de Schwarzschild.

"Cuando uno lo ve con el paso del tiempo (y a la luz de muchos estudios), se da cuenta de que se trataba de una carencia, de una falta de comprensión de algunos aspectos matemáticos de las soluciones de las ecuaciones de Einstein que el propio Einstein no había entendido bien en su momento", dice Barbero.

"Einstein tuvo que hacer un esfuerzo intelectual enorme para adaptarse al nuevo formalismo (matemático)", reflexiona Barbero. Además, tuvo la destreza de utilizarlo para formular su teoría, la cual, "desde el punto de vista matemático, es muy compleja".

Años después, como lo cuenta Michio Kaku en el libro "El universo de Einstein", el físico les diría a un grupo de estudiantes: "No se preocupen por sus dificultades con las matemáticas, les puedo asegurar que las mías son todavía mayores".

La revista Suma, de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas, reflexiona sobre esa frase: "Quien no conozca el contexto puede erróneamente deducir un escaso conocimiento o desinterés de Einstein, nada más lejos de la verdad; la frase responde a su angustia final, cuando sus preocupaciones matemáticas no pueden ser mayores: necesito más matemáticas".

El gran Hilbert

La doctora Patricia Fara, directora de estudios del departamento de Historia y Filosofía de las Ciencias de la Universidad de Cambridge (Inglaterra), le dice a BBC Mundo que las matemáticas para describir las situaciones tan complicadas como las que Einstein y su teoría de la relatividad general estaban planteando"realmente no existían cuando él empezó".

David Hilbert tuvo una influencia muy importante en Einstein y su trabajo. Foto: DOMINIO PÚBLICO

"Tenían que ser desarrolladas. Y quienes trabajaron con él se encargaron de ayudarlo". Es así como la profesora recuerda al gran matemático alemán David Hilbert, uno de los más influyentes de los siglos XIX y XX.

Hilbert es sinónimo del análisis funcional, la teoría de la demostración, la lógica matemática y la teoría de invariantes, por citar unos ejemplos. 

El matemático y sus pupilos ofrecieron elementos importantísimos a la arquitectura matemática que la relatividad general necesitaba para levantarse. Citemos un solo ejemplo: la extraordinaria Emmy Noether, para muchos la mejor matemática de la historia.

El teorema de Noether

En 1915, Hilbert trató de llevarla a la Universidad de Gotinga, donde él enseñaba, pero recibió el rechazo de sus colegas en el departamento de matemáticas. En esa época a las mujeres no se les permitía dar clases en las universidades.

Para mucho físicos, el teorema de Noether es el más bello del mundo. Foto: GETTY IMAGES

Michael Lucibella, autor de la biografía de Noether publicada por la Sociedad Estadounidense de Física (APS, por sus siglas en inglés: American Physical Society), explica que la esperanza de Hilbert de contar con la matemática era que su conocimiento en "la teoría de los invariantes -cantidades que se mantienen constantes incluso aunque los objetos de las que proceden sean manipulados de diferentes maneras- pudiera ser llevada a la incipiente teoría general de la relatividad de Albert Einstein, que parecía violar la (ley) de la conservación de energía".

"Cuando Einstein vio el trabajo de Noether sobre las invariantes, le escribió a Hilbert: ‘Estoy impresionado de que esas cosas puedan ser entendidas de una manera tan general. La vieja guardia de Gotinga debería aprender algunas lecciones de la señorita Noether. Se ve que sabe de lo suyo‘", indica la biografía de APS.

Su trabajo es fundamental para entender la teoría de la relatividad, pues ella permitió entender el papel que juegan en ella las simetrías.De hecho, es clave para comprender todas las teorías de la física.

"Gracias al teorema de Noether, ahora es completamente impensable no poner las consideraciones de la simetría al frente y al centro del desarrollo de cualquier tipo de teoría física", me dijo en 2019 Martin Hairer, ganador de la Medalla Fields en 2014.

"Genio matemático"

Cuando Noether murió en 1935, Albert Einstein escribió una carta que dirigió a The New York Times. Estos son sólo unos fragmentos:

"A juicio de los matemáticos vivos más competentes, la señorita Noether fue el genio matemático creativo más importante que haya existido desde que comenzó la educación superior para las mujeres.

"En el campo del álgebra, en el cual los matemáticos más talentosos han estado ocupados por siglos, ella descubrió métodos que han probado ser de una importancia enorme en el desarrollo de la actual generación de matemáticos jóvenes.

"La matemática pura es, a su manera, la poesía de las ideas lógicas".

Y con esa última frase, Einstein parecía rendirle un homenaje no sólo a ella sino a todos los matemáticos, del pasado y de su época, que lo ayudaron a desarrollar la teoría que revolucionó nuestra forma de ver el universo, el espacio y el tiempo.

En este artículo solo mencionamos un grupo destacado de ellos, pero son varios los que contribuyeron con el genio de genios.